Wie wir gehen: Pendel, Federn und humanoide Roboter

Biologie-Linse: Federn im Bein

Muskeln, die halten, Sehnen, die sich dehnen. Ein Muskel ist über eine Sehne am Knochen befestigt, ein festes, leicht elastisches Gewebeband. Tetsuo Fukunaga und Kollegen untersuchten den Wadenmuskel von sechs Männern mit Echtzeit-Ultraschall, während sie auf einem Laufband mit 3 km/h gingen. In der Standphase änderten die Muskelfasern ihre Länge kaum – sie kontrahierten nahezu isometrisch, was wenig Energie kostet. Die Achillessehne dagegen dehnte sich um etwa 7 mm, während der Körper von einem Bein getragen wurde, und federte beim Abstoßen zurück: Sie speicherte elastische Energie und gab sie wieder ab, wie eine Feder 6.

Eine Feder im Fußgewölbe. Beim Laufen leisten die elastischen Strukturen noch mehr. In der ersten Hälfte der Standphase verliert der Körper kinetische und potenzielle Energie; sie wird kurz als elastische Verformungsenergie gespeichert und in der zweiten Hälfte durch elastischen Rückstoß zurückgegeben – der Läufer hüpft dahin wie ein Gummiball. Robert Ker und Kollegen zeigten, dass nicht nur die Sehnen des Unterschenkels als solche Federn wirken, sondern auch das Fußgewölbe 7. Wie viel eine Sehne zurückgeben kann, maßen Glen Lichtwark und Alan Wilson beim einbeinigen Hüpfen: Im Mittel kamen 38 J pro Sprung aus dem Rückstoß der Achillessehne zurück – im Mittel 16 % der gesamten mechanischen Arbeit eines Sprungs, die im Mittel 254 J betrug. Die Sehne dehnte sich auf dem Höhepunkt um 8,3 % ihrer Länge, und ihre Steifigkeit unterschied sich deutlich von Person zu Person 8.

Was Fortbewegung kostet. Beide Mechanismen senken die Energie, die die Muskeln aufbringen müssen. Gehen ist am sparsamsten – etwa 2 J pro Kilogramm Körpermasse und Meter – bei etwa 1,11 m/s. Laufen kostet etwa 4 J pro Kilogramm und Meter, unabhängig von der Geschwindigkeit 2. Robert McNeill Alexander zeigte, dass die Kraftverläufe beim menschlichen Gehen und Laufen die Arbeit der Muskeln bei jeder Geschwindigkeit minimieren und dass die Elastizität der Sehnen beim Laufen einen großen Teil der sonst nötigen Energie spart 9.

Zum Gehen gebaut, zum Laufen gemacht? Menschen sind, wie Menschenaffen, im Vergleich zu den meisten Vierbeinern schlechte Sprinter. Bramble und Lieberman argumentieren aber, dass Menschen im Langstreckenlauf bemerkenswert gut sind – dank vieler Merkmale, die Spuren im Skelett hinterlassen. Dadurch lässt sich diese Fähigkeit im Fossilbericht auf die Gattung Homo datieren 3.

Physik-Linse: Pendel und Feder

Gehen: ein umgedrehtes Pendel. Ein normales Pendel hängt unter seinem Drehpunkt. Beim Gehen ist der Drehpunkt der Fuß am Boden, und der Körper sitzt oben auf dem Bein – ein inverses Pendel. Das Standbein zwingt den Schwerpunkt auf einen Kreisbogen statt auf eine gerade Linie 5. In der ersten Hälfte des Schritts wird der Körper langsamer und steigt: Kinetische Energie wird zu potenzieller Energie. In der zweiten Hälfte fällt er nach vorn und wird wieder schneller. Giovanni Cavagna, Norman Heglund und Richard Taylor maßen diesen Austausch bei Tieren vom Truthuhn bis zum Schafbock: Er ist bei mittleren Gehgeschwindigkeiten am größten und kann bis zu 70 % der gesamten Energieänderungen eines Doppelschritts ausmachen, sodass die Muskeln nur 30 % aufbringen müssen 1.

Warum Gehen trotzdem Energie kostet. Ein ideales Pendel würde ohne Arbeit ewig schwingen. Beim Gehen muss aber bei jedem Schritt eine Pendelschwingung durch die nächste ersetzt werden: Wenn der vordere Fuß aufsetzt, muss die Bahn des Körpers von abwärts nach aufwärts umgelenkt werden. Dieser Schritt-zu-Schritt-Übergang kostet unvermeidlich mechanische Arbeit, und Arthur Kuo, Maxwell Donelan und Andy Ruina zeigten, dass er einen großen Teil des Stoffwechselaufwands beim Gehen ausmacht 4. Eine flachere Bahn würde nicht helfen: Ginge man mit einer geraderen Bahn des Schwerpunkts, bräuchten die Muskeln mehr Arbeit und Kraft 5.

Laufen: ein Feder-Masse-System. Beim Laufen, Traben und Hüpfen werden kinetische und potenzielle Energie nicht gegeneinander getauscht. Stattdessen spart ein anderer Mechanismus Energie: ein elastisches Federn des Körpers 1. Reinhard Blickhan beschrieb Laufen und Hüpfen mit einem sehr einfachen Feder-Masse-Modell: einer Punktmasse auf einer masselosen Feder. Das Modell verknüpft Kontaktzeit, Sprungfrequenz und die Auf-und-ab-Bewegung des Körpers und zeigt, dass ein hüpfender Mensch eine Frequenz wählt, bei der sich die größte Energiemenge noch elastisch speichern lässt 10.

Mathematik-Linse: die Froude-Zahl und der Wechsel ins Laufen

Ein Tempolimit aus der Geometrie. Am höchsten Punkt seines Bogens bewegt sich der Körper auf einem Kreis mit dem Radius L, der Beinlänge. Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis bewegt, braucht eine Zentripetalbeschleunigung v²/L zum Mittelpunkt hin – hier nach unten, zum Fuß. Beim Gehen kann nur die Schwerkraft sie liefern, also darf v²/L nicht größer als g sein 11. Das Verhältnis der beiden ist die Froude-Zahl:

Ist Fr größer als 1, kann die Schwerkraft den Körper nicht mehr auf seinem Bogen über dem Fuß halten: Er würde abheben 11. Das schnellste Gehen, das das Modell erlaubt, ist daher

Bei einer Beinlänge von 0,9 m sind das etwa 3,0 m/s oder 10,7 km/h – eine Rechnung aus dem Modell, durchgeführt in der Informatik-Linse.

Dynamische Ähnlichkeit. Eine Kennzahl derselben Art bestimmt in Wie Katzen trinken den Takt der Katzenzunge – dort vergleicht sie die Trägheit einer hochgezogenen Wassersäule mit der Schwerkraft, mit der Größe der Zungenspitze als Länge und einem typischen Wert um 1; hier vergleicht sie die Zentripetalbeschleunigung des Körpers mit der Schwerkraft, mit dem Bein als Länge. Robert McNeill Alexander und A. S. Jayes stellten die Hypothese auf, dass sich Säugetiere unterschiedlicher Größe dynamisch ähnlich bewegen, wenn sie sich mit derselben Froude-Zahl bewegen: Schrittlänge, der Anteil der Zeit, in der ein Fuß am Boden ist, und der Kraftverlauf sollten dann übereinstimmen 12. Für Gehen und Laufen setzte Alexander für L die Höhe des Hüftgelenks ein 9. Kinder, kleinwüchsige Menschen und größere Erwachsene gehen mit ähnlicher Mechanik – auch was die Energie angeht, die sie bei jedem Schritt zurückgewinnen –, wenn man ihre Geschwindigkeit als Froude-Zahl ausdrückt 2.

Der Wechsel bei Fr ≈ 0,5. Menschen und andere Zweibeiner mit unterschiedlicher Beinlänge wechseln bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten vom Gehen ins Laufen, aber bei etwa derselben Froude-Zahl: 0,5. Rodger Kram, Antoinette Domingo und Daniel Ferris prüften das, indem sie ihre Versuchspersonen mit einer nahezu konstanten Kraft nach oben zogen und so eine geringere Schwerkraft simulierten. Je geringer die simulierte Schwerkraft, desto langsamer die Geschwindigkeit, bei der die Personen ins Laufen wechselten – die Froude-Zahl beim Wechsel blieb aber etwa gleich 11. Löst man Fr = 0,5 nach der Geschwindigkeit auf, erhält man

Das passt gut zu Messungen, wenn man eine Beinlänge von 0,9 m annimmt: In einer Studie von Alan Hreljac mit 20 jungen Erwachsenen wechselten die Personen im Mittel bei 2,06 m/s 13.

Nicht dort, wo es am sparsamsten ist. Laufen wir, weil Laufen bei dieser Geschwindigkeit sparsamer ist? Hreljac maß auch die Geschwindigkeit, ab der Laufen energetisch günstiger war als Gehen: 2,24 m/s, deutlich schneller als die Geschwindigkeit, die die Personen wählten. Bei der Wechselgeschwindigkeit empfanden sie Gehen als anstrengender als Laufen. Das spricht dafür, dass Menschen die Gangart nicht wechseln, um ihren Energieverbrauch zu minimieren 13. Das Pendel erklärt, warum Gehen mit steigendem Fr schwieriger wird; was genau den Wechsel unterhalb der Grenze von 1 auslöst, ist noch eine Forschungsfrage.

Informatik-Linse: ein Pendel, das geht

Wie schnell kann ein inverses Pendel gehen, und wo wechseln echte Menschen ins Laufen? Das Programm unten modelliert den Körper als Punktmasse an der Hüfte, die verlustfrei über ein steifes, masseloses Bein schwingt. Es berechnet die Energien während eines Schritts, die Geschwindigkeitsgrenze √(g L) und die Froude-Zahlen der von Hreljac gemessenen Wechselgeschwindigkeiten 13. Modellannahmen: eine Beinlänge von 0,90 m und eine Schrittlänge von 0,70 m, typisch für Erwachsene, aber in den zitierten Studien nicht gemessen; eine Geschwindigkeit von 1,1 m/s in der Mitte der Standphase, nahe der sparsamsten Gehgeschwindigkeit 2; und der Wechsel bei Fr = 0,5 11.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Ein gehender Mensch als inverses Pendel: Der Körper (eine Punktmasse an der Hüfte) schwingt über ein steifes Bein.
G = 9.81                 # Schwerebeschleunigung (m/s²)
LEG = 0.90               # Beinlänge L, Hüftgelenk bis Boden (m) – angenommen für Erwachsene
STEP = 0.70              # Schrittlänge (m) – angenommen
WALK = 1.1               # Gehgeschwindigkeit in der Mitte der Standphase (m/s), nahe der sparsamsten
FR_SWITCH = 0.5          # Froude-Zahl, bei der Menschen vom Gehen ins Laufen wechseln (gemessen)
SWITCH_SPEEDS = {"bevorzugter Wechsel": 2.06, "energetisch günstigster Wechsel": 2.24}   # gemessen (m/s)


def froude(speed, leg=LEG, g=G):
    """Froude-Zahl Fr = v²/(g·L): Zentripetal- im Verhältnis zur Schwerebeschleunigung."""
    return speed**2 / (g * leg)


def max_walking_speed(leg=LEG, g=G):
    """Am höchsten Punkt bewegt sich der Körper auf einem Kreis mit Radius L. Nur die Schwerkraft
    kann ihn auf der Kurve halten, also v²/L ≤ g, d. h. Fr ≤ 1 und v ≤ √(g·L) – schneller, und er hebt ab."""
    return np.sqrt(g * leg)


# Ein Schritt: Das Bein schwingt von −θ0 bis +θ0 um die Senkrechte, ohne Verluste (Energieerhaltung)
theta0 = np.arcsin(STEP / 2 / LEG)
theta = np.linspace(-theta0, theta0, 201)
x = LEG * np.sin(theta)                                   # Position der Hüfte über dem Fuß (m)
height = LEG * np.cos(theta)                              # Höhe der Hüfte (m)
speed = np.sqrt(WALK**2 + 2 * G * (LEG - height))         # oben am langsamsten, an den Enden am schnellsten
potential = G * (height - height.min())                   # Energie pro kg Körpermasse (J/kg)
kinetic = 0.5 * (speed**2 - speed.min()**2)
total = potential + kinetic

v_max = max_walking_speed()
print(f"ein Pendelschritt: Die Hüfte steigt um {100 * (height.max() - height.min()):.1f} cm, "
      f"Geschwindigkeit oben {speed.min():.2f} m/s, an den Enden {speed.max():.2f} m/s")
print(f"kinetische und potenzielle Energie tauschen die Rollen; ihre Summe ändert sich um {np.ptp(total):.1f} J/kg")
print(f"schnellstmögliches Gehen (Fr = 1): v = √(g·L) = {v_max:.2f} m/s = {3.6 * v_max:.1f} km/h")
print(f"vorhergesagter Wechsel ins Laufen bei Fr = {FR_SWITCH}: {np.sqrt(FR_SWITCH * G * LEG):.2f} m/s")
for name, v in SWITCH_SPEEDS.items():
    print(f"gemessen, {name}: {v:.2f} m/s → Fr = {froude(v):.2f}, "
          f"Beinkraft oben = {1 - froude(v):.2f} × Körpergewicht")

plt.rcParams["font.size"] = 13      # große Schrift: Das Diagramm bleibt auf dem Handy lesbar
fig, (top, bottom) = plt.subplots(2, 1, figsize=(6.4, 8.4), layout="constrained")
cm = 100 * x
top.plot(cm, potential, lw=2.5, color="#1f6f8b")
top.plot(cm, kinetic, lw=2.5, ls="--", color="#c0392b")
top.plot(cm, total, lw=1.5, ls=":", color="black")
top.text(0, potential.max() - 0.12, "potenziell", ha="center", va="top", color="#1f6f8b")
top.annotate("kinetisch", xy=(cm[20], kinetic[20]), xytext=(cm[0], 0.98), color="#c0392b",
             arrowprops=dict(arrowstyle="-", color="#c0392b"))
top.text(0, total[0] + 0.05, "Summe: konstant", ha="center", va="bottom")
top.set_xlabel("Position der Hüfte über dem Fuß (cm)")
top.set_ylabel("Energie (J pro kg)")
top.set_ylim(0, total[0] + 0.45)
top.set_title(f"Ein Pendelschritt bei {WALK} m/s: Energien tauschen")

v = np.linspace(0, 3.4, 400)
force = 1 - froude(v)                                     # Beinkraft oben, in Körpergewichten
valid = v <= v_max
bottom.plot(v[valid], force[valid], lw=2.5, color="black", label="Pendelmodell")
bottom.plot(v[~valid], force[~valid], lw=2, ls=":", color="grey", label="Modell ungültig: Körper hebt ab")
bottom.axhline(0, color="grey", lw=0.8)
bottom.axvline(v_max, color="grey", lw=0.8)
bottom.text(v_max + 0.05, 0.85, "Fr = 1", va="top")
for (name, s), marker in zip(SWITCH_SPEEDS.items(), ("o", "s")):
    bottom.plot(s, 1 - froude(s), marker, ms=9, color="#c98a1b", label=f"gemessen: {name}")
bottom.set_xlabel("Gehgeschwindigkeit (m/s)")
bottom.set_ylabel("Beinkraft oben (× Gewicht)")
bottom.set_ylim(-0.45, 1.1)
bottom.set_title("Wir laufen lange, bevor das Bein entlastet")
bottom.legend(loc="lower left", fontsize=11)
plt.show()

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• So führst du den Code aus

Ausgabe · das gibt der Code aus, bei jedem Build neu ausgeführt

ein Pendelschritt: Die Hüfte steigt um 7.1 cm, Geschwindigkeit oben 1.10 m/s, an den Enden 1.61 m/s
kinetische und potenzielle Energie tauschen die Rollen; ihre Summe ändert sich um 0.0 J/kg
schnellstmögliches Gehen (Fr = 1): v = √(g·L) = 2.97 m/s = 10.7 km/h
vorhergesagter Wechsel ins Laufen bei Fr = 0.5: 2.10 m/s
gemessen, bevorzugter Wechsel: 2.06 m/s → Fr = 0.48, Beinkraft oben = 0.52 × Körpergewicht
gemessen, energetisch günstigster Wechsel: 2.24 m/s → Fr = 0.57, Beinkraft oben = 0.43 × Körpergewicht

Was das Ergebnis lehrt:

• Das Pendel tauscht Energie kostenlos. Im Modell steigt die Hüfte um 7,1 cm, wird oben auf 1,10 m/s langsamer und an den Enden des Schritts auf 1,61 m/s schneller, während sich die Summe der Energien nicht ändert. Echte Menschen gewinnen nur einen Teil der Energie zurück – bis zu 70 % 1 –, weil jeder Schritt-zu-Schritt-Übergang Arbeit kostet 4.
• Ein Tempolimit. Das schnellstmögliche Gehen des Pendels liegt bei 2,97 m/s oder 10,7 km/h. Das ist eine Obergrenze des Modells, keine gemessene Höchstgeschwindigkeit.
• Menschen wechseln früh. Bei Fr = 0,5 sagt das Modell den Wechsel bei 2,10 m/s voraus; die gemessene bevorzugte Wechselgeschwindigkeit von 2,06 m/s entspricht Fr = 0,48 – für die angenommene Beinlänge. Bei dieser Geschwindigkeit trägt das Bein am höchsten Punkt des Bogens noch das 0,52-Fache des Körpergewichts: Menschen fangen an zu laufen, lange bevor das Pendel abheben würde.

Probier es selbst:

• Ein Kind mit 0,5 m Beinlänge: Setze LEG = 0.50. Das schnellste Gehen sinkt auf 2,21 m/s und der vorhergesagte Wechsel auf 1,57 m/s – ein Kind muss früher anfangen zu laufen.
• Gehen auf dem Mond: Setze G = 1.62. Das schnellste Gehen sinkt auf 1,21 m/s, und wenn der Wechsel weiterhin bei Fr = 0,5 stattfindet, käme er bei 0,85 m/s. Das ist eine Extrapolation: Kram und Kollegen simulierten geringere Schwerkraft auf der Erde, indem sie ihre Versuchspersonen nach oben zogen, nicht auf dem Mond 11.

Zeigt die Ausgabe für eine gemessene Wechselgeschwindigkeit der Erwachsenen eine negative Beinkraft, liegt diese Geschwindigkeit für das geänderte Bein oder die geänderte Schwerkraft jenseits von Fr = 1: Dort gilt das Pendelmodell nicht mehr.

ein Pendelschritt: Die Hüfte steigt um 14.3 cm, Geschwindigkeit oben 1.10 m/s, an den Enden 2.00 m/s
kinetische und potenzielle Energie tauschen die Rollen; ihre Summe ändert sich um 0.0 J/kg
schnellstmögliches Gehen (Fr = 1): v = √(g·L) = 2.21 m/s = 8.0 km/h
vorhergesagter Wechsel ins Laufen bei Fr = 0.5: 1.57 m/s
gemessen, bevorzugter Wechsel: 2.06 m/s → Fr = 0.87, Beinkraft oben = 0.13 × Körpergewicht
gemessen, energetisch günstigster Wechsel: 2.24 m/s → Fr = 1.02, Beinkraft oben = -0.02 × Körpergewicht

ein Pendelschritt: Die Hüfte steigt um 7.1 cm, Geschwindigkeit oben 1.10 m/s, an den Enden 1.20 m/s
kinetische und potenzielle Energie tauschen die Rollen; ihre Summe ändert sich um 0.0 J/kg
schnellstmögliches Gehen (Fr = 1): v = √(g·L) = 1.21 m/s = 4.3 km/h
vorhergesagter Wechsel ins Laufen bei Fr = 0.5: 0.85 m/s
gemessen, bevorzugter Wechsel: 2.06 m/s → Fr = 2.91, Beinkraft oben = -1.91 × Körpergewicht
gemessen, energetisch günstigster Wechsel: 2.24 m/s → Fr = 3.44, Beinkraft oben = -2.44 × Körpergewicht

Physical-AI-Linse: Roboter, die gehen

Physical AI – verkörperte künstliche Intelligenz, also Roboter, die in der physischen Welt wahrnehmen und handeln – muss das Problem lösen, das jedes Kleinkind löst: auf zwei Beinen aufrecht bleiben und vorankommen, ohne zu fallen. Ingenieurinnen und Ingenieure haben zwei sehr unterschiedliche Wege versucht: die Physik in die Maschine einbauen oder die Maschine lernen lassen.

Gehen ohne Motor. 1990 beschrieb Tad McGeer eine Klasse zweibeiniger Maschinen, für die Gehen eine natürliche Bewegung ist. Auf einer flachen Rampe gestartet, findet eine solche Maschine in einen gleichmäßigen Gang, der dem menschlichen Gehen recht ähnlich ist – ohne Motor, ohne Steuerung und ohne Energiezufuhr außer der Schwerkraft 14. Diese passiv-dynamischen Laufmaschinen sind inverse Pendel aus starren Teilen, die durch Gelenke verbunden sind. 2005 stellten Steven Collins, Andy Ruina, Russ Tedrake und Martijn Wisse drei Roboter nach diesem Prinzip vor, bei denen kleine Antriebe die Rolle der Rampe übernahmen. Sie gingen auf ebenem Boden mit weniger Steuerung und weniger Energie als andere angetriebene Roboter, und natürlicher – ein Hinweis darauf, dass passive Dynamik auch beim menschlichen Gehen wichtig ist 15.

Ein Roboter auf einer Feder. Auch die Feder des laufenden Beins fand ihren Weg in Maschinen. 1984 bauten Marc Raibert und Kollegen einen Roboter, der auf einem federnden Bein hüpfte und lief und dabei auf freiem Boden ohne Stütze das Gleichgewicht hielt. Seine Steuerung bestand aus drei einfachen Teilen: einem für die Vorwärtsgeschwindigkeit, einem für die Haltung des Körpers und einem für die Sprunghöhe 16.

Lernen durch Ausprobieren. Heute lernen viele Laufroboter das Gehen durch bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning): Ein neuronales Netz steuert einen simulierten Roboter, erhält eine Belohnung für gutes Verhalten und verbessert sich durch Versuch und Irrtum über viele simulierte Versuche. Jemin Hwangbo und Kollegen trainierten ein solches Netz in der Simulation und übertrugen es auf den vierbeinigen Roboter ANYmal, so groß wie ein mittelgroßer Hund. Der gelernte Regler folgte Geschwindigkeitsvorgaben genauer und energieeffizienter als der bisherige, lief schneller als zuvor und stand nach Stürzen wieder auf. Laut Preprint der Autoren übertraf er den bisherigen Geschwindigkeitsrekord des Roboters um 25 %, und jedes Training dauerte höchstens elf Stunden auf einem gewöhnlichen PC 17.

Humanoide Roboter. Ilija Radosavovic und Kollegen trainierten einen Regler für einen humanoiden Roboter in voller Größe vollständig in der Simulation – in vielen zufällig variierten virtuellen Umgebungen – und übertrugen ihn ohne weiteres Training auf den echten Roboter. Der Regler ist ein Transformer, eine Art neuronales Netz, die auch in großen Sprachmodellen steckt; er liest den jüngsten Verlauf der eigenen Sensorwerte und Aktionen des Roboters und sagt die nächste Aktion voraus. Der Roboter ging über verschiedene Gelände im Freien und war robust gegenüber äußeren Störungen 18. Laut Preprint der Autoren ist der Roboter etwa 1,6 m groß und 45 kg schwer, die Simulation lief in Tausenden Umgebungen gleichzeitig, zu den Störungen gehörten Stöße mit einem Stock, und in einer Woche ganztägiger Tests im Freien wurde kein Sturz beobachtet 18. In viel kleinerem Maßstab trainierten Tuomas Haarnoja und Kollegen Miniatur-Humanoide – laut Preprint 51 cm groß –, eins gegen eins Fußball zu spielen. Mit den gelernten Fähigkeiten gingen die Roboter 181 % schneller, drehten sich 302 % schneller und brauchten 63 % weniger Zeit zum Aufstehen als mit den vorprogrammierten Bewegungen des Roboters 19.

Vom Pendel zur Strategie. Die beiden Wege treffen sich: Ein lernender Roboter bewegt sich in einer simulierten Welt, die derselben Physik von Pendeln und Federn gehorcht, und ein Roboter, der diese Physik nutzt – wie die passiven Laufmaschinen –, braucht weniger Energie und weniger Steuerung. Eine Übersichtsarbeit von Yuchuan Tong und Kollegen zählt auf, was humanoiden Robotern noch fehlt: ein tieferes Verständnis biologischer Bewegung, bessere mechanische Strukturen und Materialien, bessere Antriebe und Regelung sowie eine effizientere Nutzung von Energie 20.